Sujet Mathématiques - Bac S 2017

EXERCICE 1 (7 POINTS)

PARTIE A

On considère la fonction h définie sur l'intervalle [0;+∞[ par : h(x) = xe^-x

1. Déterminer la limite de la fonction h en +∞

2. Étudier les variations de la fonction h sur l'intervalle [0;+∞[ et dresser son tableau de variation.

3. L'objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction h.

a. Vérifier que pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [0;+∞[, on a :

h(x) = e^-x - h'(x)

où h' désigne la fonction dérivée de h.

b. Déterminer une primitive sur l'intervalle [0;+∞[ de la fonction x → e^-x

c. Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction h sur l'intervalle [0;+∞[

PARTIE B

On définit les fonctions f et g sur l'intervalle [0;+∞[ par :

f(x) = xe^-x + ln(x + 1)   et   g(x) = ln(x + 1)

On note C_f et C_g les représentations graphiques respectives des fonctions f et g dans un repère orthonormé.

Ces deux courbes sont tracées en annexe page 8. Cette annexe est à rendre avec la copie.

1. Pour un nombre réel x appartenant à l'intervalle [0;+∞[, on appelle M le point de coordonnées (x;f(x)) et N le point de coordonnées (x;g(x)) : M et N sont donc les points d'abscisse x appartenant respectivement aux courbes Cf et Cg.

a. Déterminer la valeur de x opour laquelle la distance MN est maximale et donner cette distance maximale.

b. Placer le graphique fourni en annexe page 8 les points M et N correspondant à la valeur maximale de MN.

2. Soit λ un réel appartenant à l'intervalle [0;+∞[. On note Dλ le domaine du plan délimité par les courbes Cf et Cg et par les droits d'équation x = 0 et x = λ.

a. Hachurer le domaine Dλ, exprimée en unités d'aire. Démontrer que :

c. Calculer la limite de Aλ lorsque λ tend vers +∞ et interpréter le résultat.

3. On considère l'algorithme suivant :

a. Quelle valeur affiche cet algorithme si on saisit la valeur S = 0,8 ?

b. Quel est le rôle de cet algorithme ?

EXERCICE 2 (3 POINTS)

L'espace est muni d'un repère orthonormé

Soit P le plan d'équation cartésienne : 2x - z - 3 = 0.

On note A le point de coordonnées (1 ; a ; a²), où a est un nombre réel.

1. Justifier que, quelle que soit la valeur du réel a, le point A n'appartient pas au plan P.

2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D (de paramètre noté t), apssant par le point A et orthogonale au plan P.

b. Soit M un point appartenant à la droite D, associé à la valeur t du paramètre dans la représentation paramétrique précédente. Exprimer la distance AM en fonction du réel t.

On note H le point d'intersection du plan P et de la droite D orthogonale à P et passant par le point A. Le point H est appelé le projeté orthogonal du point A sur le plan P, et la distance AH est appelée distance du point A au plan P.

3. Existe-t-il une valeur de a pour laquelle la distance AH du point A de coordonnées (1 ; a ; a2) au plan P est minimale ? Justifier la réponse.

EXERCICE 3 (5 POINTS)

Dans une vaste plaine, un réseau de capteurs permet de détecter la foudre et de produire une oimage des phénomènes orageux. Ces données servent en particulier aux services météorologiques pour améliorer leurs prévisions et pour permettre des interventions plus rapides sur les lieux, notamment en cas d'incendie.

Le but de l'exercice est détudier les impacts de foudre détectés par un capteur.

L'écran radar, sur lequel les points d'impact de foudre sont observés, a l'allure suivante :

Le capteur de foudre étant représenté par le centre de l’écran, cinq cercles concentriques correspondant aux rayons respectifs 20, 40, 60, 80 et 100 kilomètres délimitent dans l’ordre cinq zones, numérotées de 1 à 5, définies par leur distance au capteur. De plus, huit segments partant du capteur délimitent huit portions, de même ouverture angulaire, nommées dans le sens trigonométrique de A à H.

L’écran est ainsi partagé en quarante secteurs dénommés par une lettre et un nombre entre 1 et 5. Par exemple, le point P positionné sur la figure est situé dans le secteur B3. On assimile l’écran radar à une partie du plan complexe en définissant un repère orthonormé  de la manière suivante :

• l’origine O marque la position du capteur ;

• l’axe des abscisses est orienté d’Ouest en Est ;

• l’axe des ordonnées est orienté du Sud au Nord ;

• l’unité choisie est le kilomètre. Dans la suite, un point de l’écran radar est associé à un point d’affixe z.

PARTIE A

1. On note z_p l'affixe du point P situé dans le secteur B3 sur le graphique précédent. On appelle r le module z_p et θ son argument dans l'intervalle ]-π ; π].

Parmi les quatre propositions suivantes, déterminer la seule qui propose un encadrement correct pour r et pour θ (aucune justification n'est demandée) :

2. Un impact de foudre est matérialisé sur l'écran en un point d'affixe z. Dans chacun des deux cas suivants, déterminer le secteur auquel ce point appartient :

PARTIE B

On suppose dans cette partie que le capteur affiche un impact au point P d'affixe 50e^i(π/3)

En raison d'imprécisions de mesures, le point d'impact affiché ne donne qu'une indication approximative du point d'impact réel de la foudre.

Ainsi, lorsque le capteur affiche le point d'impact P d'affixe 50e^i(π/3), l'affixe z du point d'impact réel de la foudre admet :

- un module qui peut être modélisé par une variable aléatoire M suivant une loi normale d'espérance μ=50 et d'écart-type σ=5 ;

- un argument qui peut être modélisé par une variable aléatoire T suivant une loi normale d'espérance μ=π/3 et d'écart type σ=π/12.

On suppose que les variables aléatoires M et T sont indépendantes, c'est-a-dire que quelq que soient les intervalles I et J, les événements (M∈I) et (T∈J) sont indépendants.

Dans la suite, les probabilités seront arrondies à 10^-3 près.

1. Calculer la probabilité P(M<0) et interpréter le résultat obtenu.

2. Calculer la probabilité P(M∈]40;60[).

3. On admet que : P(T∈]π/4;π/2[)=0,819.

En déduire la probabilité que la foudre ait effectivement frappé le secteur B3 selon cette modélisation.

EXERCICE 4 (5 POINTS)

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On étudie un modèle de propagation d’un virus dans une population, semaine après semaine.

Chaque individu de la population peut être, à l’exclusion de toute autre possibilité :

• soit susceptible d’être atteint par le virus, on dira qu’il est « de type S » ;
• soit malade (atteint par le virus) ;
• soit immunisé (ne peut plus être atteint par le virus).

Un individu est immunisé lorsqu’il a été vacciné, ou lorsqu’il a guéri après avoir été atteint par le virus.

Pour tout entier naturel n, le modèle de propagation du virus est défini par les règles suivantes :

• Parmi les individus de type S en semaine n, on observe qu’en semaine n + 1 :

85 % restent de type S, 5 % deviennent malades et 10 % deviennent immunisés ;

• Parmi les individus malades en semaine n, on observe qu’en semaine n + 1 :

65 % restent malades, et 35 % sont guéris et deviennent immunisés.

• Tout individu immunisé en semaine n reste immunisé en semaine n + 1.

On choisir au hasard un individu dans la population. On considère les événements suivants :

S_n : « l’individu est de type S en semaine n » ;

M_n : « l’individu est malade en semaine n » ;

I_n : « l’individu est immunisé en semaine n ».

En semaine 0, tous les individus sont considérés « de type S », on a donc les probabilités suivantes :

P(S₀)=1, P(M₀)=0 et P(I₀)=0

Partie A

On étudie l’évolution de l’épidémie au cours des semaines 1 et 2.

1. Reproduire sur la copie et compléter l’arbre de probabilités donné ci-dessous :

2. Monstrez que P(I₂)=0,2025

3. Sachant qu’un individu est immunisé en semaine 2, quelle est la probabilité, arrondie au millième, qu’il ait été malade en semaine 1 ?

PARTIE B

On étudie dans cette partie l’évolution à long terme de l’épidémie.

Pour tout entier naturel n, on note u_n=P(S_n), v_n=P(M_n) et w_n=P(I_n) les probabilités respectives des événemnts S_n, M_n et I_n.

1. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : u_n+v_n+w_n=1

On admet que la suite (v_n) est définie par v₀=0 et, pour tout entier naturel n :

v_n+1=0,65v_n+0,05u_n

2. À l'aide d'un tableur, on a calculé les premiers termes des suites (un), (vn), et (wn) 

Pour répondre aux questions a et b suivantes, on utilisera la feuille de calcul reproduite cidessus.

a. Quelle formule, saisie dans la cellule C3, permet, par recopie vers le bas, de calculer les termes de la suite (v_n) ?

b. On admet que les termes de (v_n) augmentent, puis diminuent à partir d’un certain rang n, appelé le « pic épidémique » : c’est l’indice de la semaine pendant laquelle la probabilité d’être malade pour un individu choisi au hasard est la plus grande. Déterminer la valeur du pic épidémique prévue par le modèle.

3. a. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : u_n+1=0,85u_n

En déduire l'expression de un en fonction de n?

b. Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel n, on a :

v_n=1/4 (0,85ⁿ-0,65ⁿ)

4. Calculer les limites de chacune des trois suites (u_n), (v_n) et (w_n).

Que peut-on en déduire quant à l'évolution de l'épidémie prévie à long terme par ce modèle ?